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【LeetCode笔记】剑指 Offer 14. 剪绳子 I II(Java、动态规划、偏数学)

2021/7/20 18:24:03 浏览:

文章目录

剪绳子 I

题目描述

  • 还是比较偏数学的一道题,通过获取结论来获得最优解
    在这里插入图片描述

思路 && 代码

1. 动态规划 O( n 2 n^2 n2)、O(n)
  • dp[i]:长度为 i 的绳子,可达到的最大值
  • 状态转移方程:以之前的值,循环组合,找出可取的最大值
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) {
            return n - 1;
        }   
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 1. 初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;

        for(int i = 4; i <= n; i++) {
            int max = 0;
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
            	// 2. 状态转移方程
                max = Math.max(max, dp[j] * dp[i - j]);
            }
            dp[i] = max;
        }
        return dp[n];
    }
}
2. 最优解:数学方法 O(n)、O(1)
  • 见注释的正确性证明
  • 主要做法就是循环地切出3,直到所剩值不大于4为止( n == 4 时候,直接用是最好的,因为 x * 4 == x* 2 * 2 > x * 3 * 1)
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 数学方法:O(n) & O(1)
        if(n < 4) {
            return n - 1;
        }
        int res = 1;
        // 循环切除3
        while(n > 4) {
            res *= 3;
            n -= 3;
        }
        // 最后乘一次 1 or 2 or 3 or 4
        return res * n;
    }
}
/*
    * 正确性证明(参考评论区大佬)
    * 1. 任何大于1的数都可由 2 & 3 组成(偶数可2累加,奇数就是前一个偶数加一次3)
    * 2. 2 * 2 == 1 * 4 ,且 2 * 3 > 1 * 5,因此拆成2 & 3得到积最大
    * 3. 因为 2 * 2 * 2 < 3 * 3,因此拆成 3 性价比最高
*/

剪绳子 II

题目描述

  • 相较于1,多了一个取模操作
    在这里插入图片描述

思路 && 代码

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 4) {
            return n - 1;
        }
        long res = 1L;
        while(n > 4) {
            res *= 3;
            res %= 1000000007;
            n -= 3;
        }
        return (int)(res * n % 1000000007);
    }
}

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